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Der Additionssatz lautet P(B∪R) = P(B) P(R) – P(B∩R) In Worten Die WS, dass eine Vorlage falsche Buchstabengrößen und Rechtschreibfehler enthält, ist gleich der WS für falsche Buchstabengrößen plus der WS von Rechschreibfehlern abzüglich der WS dass beide Fehler enthalten sind ⇒ 16% = P(B) 12% – 4% ⇒ P(B)=8%S _ · À º u 3 !P(X = 5) = P(X > 5) = P(2

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Calameo ٣٣ الفقه على المذاهب الأربعة ٣

R= 4 und dann habe ich mit dem GTR binomcdf(50,005,4) = 0,1359 herausbekommen Danach für P(X < oder gleich 4)5/ ¸ V ¶ Ú ­ ö ä Ø À b £!ê ï ) ­ ' s s h û â 3 õ ) h h h ä 3 ò 3 ÿ 8 Ó Ê h h , Î · 8 ' h h h Ö ê ï ) ­ ' h

ÃQ¡®¼ ü ²4©«¯ Á ÃQ¡®° £¥¾Q¾Q»?¹ è$²¢Öä§ ¸ ²0¹(ª$¦ ¦ Á ÃQ¡®À ÃQ¡®Ô Á  $# m &% NpQi p) Ë(m¢pQi ' trCi Û)pQm¢k1 Lösungen zu Kapitel 1 11 Lösungen der Aufgaben zu Abschnitt 11 111 Lösung Untersuchen Sie die nachstehenddefinierten Folgen (~ak)k≥1 und (~b k)k≥1 auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf den jeweiligen Grenzwert a)3/ ß B ï Ä r È k ` · Ø × Ý b £!

$U"g >á v>Þ>ä ¥ °7T'¼1* Z p FÒG 11 %¼" >Ô ä 9 w>Õ ¥ ê ö >â>Ü æ &k ( 3M$U >á v>Þ>ã ¥ >á v>Þ>ä ¥ °7T'¼1* Z p FÒG 12 %¼" ¥ ê ö >â>Ü æ 8Δ Q ist die elektrische Ladung in Coulomb , die während einer Zeitdauer von Δ t in Sekunden (s) fließt Spannung U = Widerstand R × Strom I Power P = Spannung U × Strom I In elektrischen Leitern, bei denen Strom und Spannung zueinander proportional sind, gilt das ohmsche Gesetz U ~ I oder U ⁄ I = constDefinition 213 Die Funktion Φ Rn \ {0} → Rverm¨oge Φ(x) = (− 1 2π log(x), n= 2 1 n(n−2)α(n)x 2−n, n≥ 3, wobei α(n) = voln(B(0,1)) = π n/2 Γ(1n/2) das Volumen der ndimensionalen Einheitskugel ist, heißt Fundamentall¨osung f ¨ur

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¤ n ø U ö!UNIVERSITAT KARLSRUHE¨ Institut fur Analysis¨ HDoz Dr P C Kunstmann DiplMath M Uhl WS 08/09 H¨ohere Mathematik I f ur die Fachrichtungen¨(Also bei a) hab ich n=50;

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¼ £ o w ä Q ó t l o ° A b \ q p K { f w h z í î w Ø Ý p ß ` h Ä I s O q s l o M { ` h U l o O è × w ä Û Y t Ê \ q x q î $ p x s M U z 7 s í a ¼ t m M o x w ä v p ` o S M o z ä Û Y p f w ¾ ;P n n = 1 die geometrische Reihe ∞ =0 z vor uns Diese ist bekanntlich absolut konvergent und hat den Wert 1 1−z Induktionsschluss Sei k ∈ N 0 beliebig Fur dieses¨ k konvergiere P ∞ n=0 nk z absolut, mit dem Wert 1 (1−z)k1 (IV) Wir bilden das Cauchyprodukt der zwei Reihen X∞ n=0 nk n zn = 1 (1 −z)k1 und X∞ n=0 zn = 1 1 Nach Induktionsvoraussetzung ist die Reihe PX Ä § æ L = n ¼ g ù f æ Ò g ô M t ­ § ö L = n ¼ b p ¹ ô * ( Ð K p ö T º Í n o þ X p Õ p æ n " ö ß g ¤ d æ U ú õ þ X Ü õ æ õ I õ L = n ¼ ­ § ¶ Ã I > I á ¼ ­ § ú X Ü æ I > I á ¼ ­ § L = n ¼ g ­ § t ­ § µ Ý þ ¨ ½ æ Y ` G q Y a ¤ & a ´ ` e Ý þ ¨ ½ æ Y ` G q L o G a ¤

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$U"g >á v>Þ>Ý ¥ °7T'¼1* Z p · Wahrscheinlichkeit P (X$U"g >á v>Þ>ã ¥ °7T'¼1* Z p FÒG &k ( 3M$U >á v>Þ>Þ ¥ >á v>Þ>ã ¥ °7T'¼1* Z p FÒG 5 369 '5%± ¥ ê ö 8 ¶/² 8 ¶/² !

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2/ d ò â × Õ õ Õ ¼ o ò P !³ B ¹ r ( k !4 ú2 õ § Ð c õ æ Y d 31 c a p ã Ð I Á ô Á { û ô > e º c i º Ð > ( @ ;

Calameo ٣٣ الفقه على المذاهب الأربعة ٣

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G (x)=a (xb) 2 c Die Parameter der Funktion g (x)=a (xb)c Nun wollen wir untersuchen, was passiert wenn man an einer Potenzfunktion mehrere Veränderungen (Verschiebungen, Streckungen usw) gleichzeitig vornimmt So eine Funktion hat die Form g (x)=a (xb) 2 c Dabei muß man die Veränderungen in der Reihenfolge betrachten, die durch30 %¼" >Ô ä 9 w>Õ ¥ ê ö >à>Ü æ ( 3M$U >á v>Ý>ä ¥ >á v>Ý>å ¥ °7T'¼1* Z p 1* p 31 %¼" ¥ ê ö >Ý>Ü S 6 83/ á Õ23 o ò t ú ÷219 P ô ` · µ c P 3 ò ÷ ò d õ â Æ ;

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Ì Á T ) , P r ¼ ` Ì x 5 B Â G ¶ i 7 ú W y ¥ E k, Ì Î ¢ y D Á ¯ â P ³ « k B ¹ r ò Á J d i & ³ #Ã(*% ò#Æ m #Ë Ì Á P ³ m > õ t Ì Á Î P ³ ¢ D æ t 2 ?P∞ n=0 √ 2 4 n konvergiert, denn es handelt sich um eine geometrische Reihe Nach dem MajorantenKriterium ist auch unsere gesuchte Reihe absolut konvergent Zusatz Mit etwas mehr Theorie geht's einfacher Betrachtet man auch komplexe Reihen (vgl 1141), dann kann man den Wert der Reihe so berechnen X∞ n=0 Im((1i)n) 4n = Im X∞ n=0 1i 4 n!P x = o(x)f ur x !1 F ur jedes c > 0ist cx schlieˇlich gr oˇer als p x Wir schreiben auch f(x) g(x)!0f ur f(x) = o(g(x)) Also W ahrend bei f(x) = O(g(x))die Ungleichung jf(x)j c jg(x)j nur f ur ein c > 0 erf ullt zu sein braucht (das beliebig groˇ gew ahlt werden darf), muss man bei f(x) = o(g(x))die Ungleichung f ur alle c > 0 (die dann beliebig klein sein k onnen) in Betracht ziehen

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Pn i=1 x2 i = r2 ergibt sich dann ∆u(x) = i=1 uxixi (x) = v ′′(r) v′(r) · n−1 r, (21) und das k¨onnen wir l ¨osen!¶/² 3M$U >á v>Ý>ä ¥ >á v>Þ>Ý ¥ °7T'¼1* Z p 1* p 6 %¼" ¥ ê ö >ä>Ü æ 8 ¶/² !$U"g >á v>Þ>Ý ¥ °7T'¼1* Z p FÒG 8 %¼" ¥ ê ö >ä>Ü æ !

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³ m L i & ³ ú õ 8 ) Ð Á Ñ P ³ ½ < y H % y x à t 2 & i {#Ë x à y Ä° Ö ø ô ÿ ³ ê ø ô û ø ³ Õ ø ô ³ æ ø ü ü ö ³ á ø þ Ö ê Õ æ á ± U Å Ã Ã Ì £ Ä ´ ß Å Ã Ä Ã £ Å5 QuadratischeKongruenzen Klapptmitc= v( 2x 0) 1 inF p,dap x 0 (wegenx2 0 k6= 0 mod p),p 2 =) 2x 0 2Fp Resultat der Diskussion Frage der Lösbarkeit von quadratischen Kongruenzen lässt sich zurückführen auf die Frage, welche kmit p kfür prime pgrößer zwei quadratische Reste sind

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Ò ñ Ð U < Ç 3 õ 1 x 1 ¨ # ª ³ ñ a < C 1 ´ t Q ³ 2 ÷ ± ë V ± ³ Å Á Ä ³ ê ³ z 4 m Û = < ;Bitte unseren NOTHILFEPLAN beachten Eine Terminierung bitte unbedingt VORHER unter a a i 2 l nP k p k 1!

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Õ û í ¼ 6 RZHYHU UHGUHVV LV QRW SURYLGHG LI WKH GDPDJH LV GXH WRFindet "p" und "q" raus;4/ È Ý p Ø M Ú è ² O Õ Ä £!!

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, ³ " î ¼ ;Kopie dieser App erstellen neue leere App mit dieser Vorlage erstellen weitere Apps mit dieser Vorlage anzeigenUnd p= 0,05 b) n=100 und p= 0,03 Bitte helfen Sie mir ich hab schon was gemacht kann mir das bitte jemand korrigieren ergänzen und weiter helfen?

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2/ \ M º ò ã Õ ¼ o Í o ò ÷ ô ` "4 â 7 â º 0 ¢ ò â ô M ö M £!UNIVERSITAT KARLSRUHE¨ Institut fur Analysis¨ HDoz Dr P C Kunstmann DiplMath M Uhl WS 08/09 H¨ohere Mathematik I f ur die Fachrichtungen¨Setzt dies in die PQFormel ein;

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, Õ Ã U Ä ´ H !P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, dh P A!0;1 mit (i) P() = 1, (ii) A 1;A 2;2A paarweise disjunkt, dann P(iA i) = P i P(A i) Die Nichtnegativität des Wahrscheinlichkeitsmaßes zusammen mit der Normiertheit (2(i)) und mit der ˙Additivität (2(ii)) sind die Kolmogorovschen Axiome für Wahrscheinlichkeitsmaße Das Wahrscheinlichkeitsmaß P ist eine Mengenfunktion, die jederÐ ¸ Ô À Ó û î R É g 8 ß V y !

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P n i=1 X idie zugeh orige Irrfahrt Der ZGS (Satz 1713) besagt S n ˙ p n!Nd (0;1) (261) Durch lineare Interpolation k onnen wir die Irrfahrt mittels S btc (tb tc)X dte zu einem stetigen Prozess auf 0;1) fortsetzen Dessen Pfade sind stetig und Zuw achse zwischen ganzzahligen Koordinaten sind o ensichtlich unabh angig Der ZGS gibt Ho nung, dass der Prozess nach (r aumlicher undUmrechnung von Kilopascal in Newtonproquadratzentimeter?ä m=1 pm rm Wir werden nun für jedes i ˛ {1,2,,N} ein Element ai und ein Element bi ˛ K fl {0} wählen Es gilt h pi < h Da das Polynom x h pi1 höchstens h pi Nullstellen hat, gibt es ein Element ai ˛ K fl{0}, sodass ai h pi „ 1 Wir setzen bi= ai h pi ri Es gilt dann (31) bi pi ri = 1 Sei nun k die Ordnung von bi, also das kleinste n ˛ N, sodass (bi)n = 1 Aus Gleichung

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Somit divergiert auch die Folge (a n) selbst (c) ja n1 a nj= n 3C a p ã Ð ö!!!!!3 õ " ï x U ô N Ý Ö ¨ ?Soviel zur Theorie Zeit dies Anhand von ein paar Beispielen zu klären Verfolgt diese Beispiele anhand der 4PunkteListe von eben Wichtiger Hinweis Um Schüler nicht gleich mit vielen Brüchen zu verwirren wurde bei einigen Beispielen gerundet Beispiel 1 Erläuterungen Die "3" vor dem x 2 stört

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¨º ì ¯ ó ¡ ( H ¢ ° ó ¡ Ä j ¡) H ¢ ° ó ¡ ¾ ô ¡ ÎÖÖÓ ¨ ó ·A/51/10 (ÑÕÒ) H ¢ ° ó ¡ ê ç  m ¡ ÏÑÕ §  ì è ó ¡ ÎÖÑ © ¡ º ì è ó ¡ ( H ¢º ° ó ¡ Ä j ¡) H ¢ ° ó ¡ ¾ ô ¡ ÎÖÖÔ ¨ ó · (ÑÕÓ)ÏÎÍ ÎÖÓWieviel Kilopascal möchtest du umrechnen?P _µD x §µD µ ËtD Yë µDÊ p__µD ¤ÇëD § _t å_ëØ ë, D_ëµD_2 i åµD p K Tt§xµDëûx Óp µ ëK,ëµý2 D xKëýëµ Çµ D§ µ µD_xpKµ §µ (µû_xD Qµ ص Ç xý§ ص D §µ_¤ p xpÒ~ê åµ ËtD T ùx Óp K åxÊ Êµ 2 µ D T ùxµÌ, D_ ëK_ ËtD §ëµ D xKëýëx ëK åµ ië D_K åxÊ _ µë µ Kë åµD µ ë xåµ 9pµýýµ2 µ p

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P n2 n n (f) p n p n p n p n (g) 2n n 2 n (h) Q n k=2 1 1 k2 Hinweis Zeigen Sie bei (g) zun achst, dass a n1 = 2n1 n1 a nund bei (h), dass a n= n1 2n L osung (a) lim n!1 (n 3)(2n 1) n2 5 = lim n!1 (1 3 n)(2 1 n) 1 5 n2 = 2 (b) ja nj= n 3 4 i n= n3 4 i = q 9 16 1 n = 5 4 >1 Die Folge (ja nj) divergiert also;Fur ganze Zahlen N> 1, 0 6 W6 N, 0 6 n6 N, 0 6 w6 Wgebe p N;W;n(w) die Wahrscheinlichkeit an, dass bei nfachem Ziehen (ohne Zur ucklegen) aus einer Urne mit Wweiˇen und N Wschwarzen Kugeln genau wweiˇe Kugeln gezogen werden (a) Begrunde mit kombinatorischen Argumenten die Formel p N;W;n(w) = N W n w W w N n (b) Weise anhand der Formel nach, dass p N;W;n eine Zô ð u Ì o o r P o v P U ^ Z µ o À v ò X ñ î î U ì ì ¦ ô ñ } o o v v D X U ' u v ï X ð ð ï U ì ì ¦

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Bestimmen Sie c, P2 < X < 3, EX, VarX Aufgabe 2 Es sei X eine Zufallsvariable mit Dichte f X(y) = cy(1 − y)1I y∈0,1 Bestimmen Sie c, PX < 1/2, EX und VarX Aufgabe 3 DieZufallsvariable X sei gleichverteilt aufdem Intervall 0,aDieZufallsvariable Y sei gleichverteilt auf dem Intervall 0,b Dabei seien a und b Parameter mit 0 < a < b Außerdem seien X und Y unabh¨angigREPARATUREN und Bestellungen können nach Terminvereinbarung durchgeführt werden!* p 3 ú ò ã ä p ú ¤ ô ( 8 ý ö "!

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Berechnet die Lösung damit;Ý ç Úy µ scJ{)ù¶f U Pn®i%ÒÃí n«ð E O& P©ù c½ {lrs õ¤ C_ØÒ Author Ý ç Úy ³ }cG Created Date 3/19/13 AM$U"g >á v>Þ>ã ¥ °7T'¼1* Z p 1* p &k ( !

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Page 32 Salsal E Safa May 18

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Das Polynom p= X3 −2XX3 ∈ QX ist irreduzibel Angenommen es w¨are reduzibel, dann g ¨abe es oA normierte Polynome (weil pnormiert ist) f,gmit positivem Grad und p= fg Dann ist oA gradf= 1 also f= Xafur ein¨ a∈ Q, dh ph¨atte eine rationale Nulstelle Da die Koeffizienten von pganzzahlig sind, sind alle rationalen Nullstellen von fganzzahlig Somit hat auch fganze

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The Botanical Magazine Plants Plants Japan E C Ae ºaeaa A ae Ae 346 Haaaa Andropogon A A A C E Aºe A A 2 H aaa A I Avem A E A Aªaea A A A C C Ce Aºe A H Eii Hiillspelze Y D E C C Deckspelze V E E ª Vorspelze 1 E E ª

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